Question

已知二次函数y=x方-2(m-1)x+m方-2

（1）证明不论m为何值，二次函数图像的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式。（2）若二次函数图像在X轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式。

Answer 1

y=x方-2(m-1)x+m方-2
y=[x-(m-1)]²+m²-2-(m-1)²
=[x-(m-1)]²+2m-3
顶点坐标为(m-1，2m-3）
设x=m-1；y=2m-3
y=2(m-1)-1
y=2x-1
所以，不论m为何值，二次函数图像的顶点均在同一直线上，此直线的函数解析式为：y=2x-1

（2）若二次函数图像在X轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式。
x²-2(m-1)x+m²-2=0
根号[4(m-1)²-4(m²-2)]=4
-2m+1+2=4
m=-1/2
此二次函数的解析式为：y=x²-9x/2-7/4