Question

如何用向量证明三角形三条中线交于一点

Answer 1

证明:设D、E、F分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点,

令=a,=b为基底,

则=a-b,=a-b,=-a+b,

设AD与BE交于点G1,且=λ,=μ,

则有=λa-b,=-a+μb.

又有=+=(1-)a+(μ-1)b,

∴解得λ=μ

再设与交于G2,

同理求得,

∴G1点、G2点重合,即AD、BE、CF交于一点.

∴三角形三条中线交于一点.

Answer 2

AD、BE、CF是△ABC的三条中线,用向量法求证：AD、BE、CF共点.
［证明］
令BE、CF相交于O,且BO＝mOE、CO＝nOF,其中m、n为非零实数.则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF.
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF,
　向量FE＝向量OE－向量OF.
显然有：向量BC＝2向量FE,∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF）,
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF,而向量OE、向量OF不共线,∴m－2＝n－2＝0,
∴m＝n＝2,∴BO＝2OE、CO＝2OF.
令AD、BE相交于G,利用上述结论,则有：BG＝2GE,又BO＝2OE,且O、G都在线段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共点.