Question

已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3x+1

已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3x+1设f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围
f'(x)=3x^2-6ax+3,为使f(x)在(2,3)内至少有一极值点，则f'(x)在此间内有零点，且△>=0

综上有：f'(2)*f'(3)<0(异号)，且36a^2-36>=0
整理有5/4<a<5/3,且a>1或a<-1
综上5/4<a<5/3

我的问题是，那如果在（2,3）上有2个极值点，3个？4个？……f（2）f（3）就不一定异号了啊？？

Answer 1

先给你一种我的方法：
f(x)在(2,3)内至少有一极值点即是
存在x∈(2,3)使 f'(x)=3x^2-6ax+3=0成立
也就是使2a= x+1/x成立
设g(x)=x+1/x,
g'(x)=1-1/x²=(x+1)(x-1)/x²
x∈(2,3),g'(x)>0总成立，
g(x）是增函数，g(x)∈(5/2,10/3)
∴ 5/2 < 2a<10/3
∴5/4<a<5/3
再回答你的问题：
（1）三次函数在实数范围内要有极值点一定
会恰有两个不同的极值点，要么没有，
更不会出现3个，4个。。。因三次函数
的导函数是二次函数，只有当Δ>0时二次才会
有两个不等的实数根（不会有3个4个）。
你说的这句话是错的：
“则f'(x)在此间内有零点，且△>=0”
Δ=0时，二次方程有等根，导函数图像与
x轴相切，f(x)无极值点，应把=号去掉。
解法如果是老师给的，跟老师说明一下，
改正过来。
（2)设3x^2-6ax+3=0即x²-2ax+1=0的根为x₁,x₂
由韦达知x₁x₂=1，不可能两个都在（2，3）
内，至多有一个在，

Answer 2

有偶数个极值点时同号，奇数个极值点时异号

Answer 3

作图可以发现，有偶数个极值点时同号，奇数个极值点时异号。这样的话应该还会有其他的限制条件，一般题目都不会出的那么复杂的

Answer 4

晕