Question

一道数学题 高手来

数f(x)=sin^2x+2cosx在区间[-2π/3,a]上的最大值为1,则a的值是
最后做出来a=π/2和a=-π/2 请问为啥舍了一个 ？老师讲是看图像，是看cos的图像，还是看f(x)整体的图像 请具体说下 总搞不懂

Answer 1

答案应该是取a=-π/2 吧。
我的解答过程如下：仅供参考
f(x)=sin^2x+2cosx=1-cos^2x+2cosx= -（cosx-1）^2+2
此函数在区间[-2π/3,a]上的最大值为1,显然是当cosx=0时才能取到
其实只要满足X=Kπ+π/2（K是整数），都能使cosx=0，所以X可取-π/2 ，π/2 等等
但是为什么要舍掉π/2以及其他一些值呢？这就要重新看下题目了，题目要求的最大值是1，
所以先画下余弦函数的图像，如果你取π/2，那么[-2π/3,π/2]就把0包括了
而当X=0时，f(x)=-（cosx-1）^2+2 =2了，也就是最大值不是1，而是2了。显然不符合题目的要求。
我写的很细了，希望你看得懂！

Answer 2

看整体的图像，或者化简。我们知道，sin^2x+cos^2x=1，因此sin^2x=1-cos^2x,将它带入原函数
f(x)=1-cos^2x+2cosx=-(cosx-1)^2+2,如果最大值为1，那么-(cosx-1)^2+2≤1
化简得(cosx-1)^2≥1，进一步化简，cosx-1≤-1或cosx-1≥1（这个是增根，舍去），
因此cosx的范围是[-1,0]，所以x得范围是[0,π/2],根据题目要求，a=π/2

Answer 3

先化成任意单一三角函数，画出f(x)的图，在大于-2π/3里找到最大值为1的区间。最大值为1，有几种情况。1、刚好到a，最大值就是f(a)。2、大于f(b)小于f(c)之间，f(x)取最大值，这时a在bc之间。3、大于d的所有区间上，f(x)的最大值都是1，那么a大于d.至于是开区间还是闭区间，自己看着搞。

Answer 4

我们把正弦化成余弦，再进行配方，试试。
f﹙x﹚＝1－cos²x＋2cosx
＝－﹙cos²x－2cosx﹚＋1
＝－﹙cosx－1﹚²＋2.
令f﹙x﹚=1,则上式的第一项应该是-1，即cosx＝0, x＝kπ+π/2.﹙k∈Z﹚.结合所给的区间[﹣2π/3，a]，可以知道a＝-π/2。（附注：在区间x∈[﹣π,0]余弦很是为增函数。）

Answer 5

f(x)=1-cos^2x+2cosx，整理，f(x)=-(cosx-1)^2+2，cosx∈[-1,1]，结合一元二次方程的图像~
搞定之~
整理过程中用到了，sin^2x=1-cos^2x

追问

结合什么图像说清！！没看到我的提问么！

追答

结合一元二次方程的图像！！你瞎啊没看见啊！！

追问

一元二次方程多了！！不会就别再这搂！！！脑子有泡！

追答

嘿~我真是头回见拿着不是当理说的人~

整理后函数表达式里的cosx看成一个整体，不就变成了一个关于它的函数式了么…
如，cosx=q，那么原来的f(x)=-(cosx-1)^2+2，就变成了，f(q)=-(q-1)^2+2，q∈[-1,1]。
这个的图像很明白吧。
f(q)和f(x)一样。

由f(q)的函数图象（有q的定义域可知，f(q)的图像是一段值域是[-2,2]的单调增函数）
而题意中说[-2π/3,a]中最大值是1，所以f(q)，也就是f(x)，不能大于1,（这个就是后面舍掉a=π/2，的依据，不然a=0的时候f(x)不就等于2了么，这不就跟[-2π/3,a]中最大值是1冲突了么）

我楼下那个写的很详细。
还有啊年轻人~问人问题，不说很谦虚吧，起码态度要好点儿吧~再说，一元二次方程的图像是多了，可是你总结一下也不外乎就是俩，一个口朝上一个口朝下的，怎么变也就是这俩~也都是对称轴两边一个单调增一个单调减~
初中函数的题型很固定，多做题多总结，多找数形结合的切入点。函数题还是很好做的。