Question

一道数学题 高手来

以棱长为1的正方体各面的中心为顶点的多面体的内切球的表面积是（ ）
求详细解析（要有图）

Answer 1

以棱长为1的正方体各面的中心为顶点的多面体是正八面体，它的各棱长为√2/2，是两个正四棱锥构成的，上面的如图所示：

正四棱锥S－ABCD,其中A,B,C,D分别是正方体四周的四个正方形的中心，S是上面正方形的中心。这个正八面体的内切球的球心就是正方形ABCD的中心O，它到面SBC的距离即是球的半径OH，其中H是正三角形SBC的中心.

设BC中点是E，连OH，SE，OE，显然OH⊥SE，

因为OE=1/2AB=1/2*√2/2=√2/4，又SO=1/2，

所以SE=√(OE^2+SO^2)=√(2/16+1/4)=√3/8，

由OH·SE=OE·SO得，OH=√2/4·1/2/√3/8=√3/6

故所求的内切球的表面积是4π(√3/6)^2=π/3

Answer 2

图就算了吧，多麻烦啊
正方体各面的中心为顶点的多面体，是什么呢？
6个顶点，而且边长都一样
应该是个正八面体，恩，就是两个正四棱锥拼起来那玩意，边长是 根2/2
那这个玩意的内切圆半径是多少呢？画个图很容易知道，是 1/2跟3
表面积就好求了，pi /3
有可能我计算有误哈，好多年没做几何了
这玩意主要是个想象力的锻炼，计算啥的你应该可以搞定

Answer 3

因为棱长为1
所以球直径为1,半径为1／2
所以表面积＝4pi*r^2=pi

Answer 4

5555