Question

一道数学题（高手来）

如图，直线y=-x+3与x轴,y轴分别相交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x^2+bx+c与x轴的另一边交点为A、顶点为P。
（1）连结AC，BP，求证：△BCP∽△OCA。
（2）在x轴上找一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标。
帮帮忙啊，分不够再加！

Answer 1

（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3.
　　∴点B的坐标为(3,0)．
　　又∵抛物线过x轴上的A,B两点，且对称轴为x=2，
　　根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为(1,0)．
　　（2）∵y=-x+3过点C，易知C(0,3)，∴c=3．
　　又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(3,0)，
　　∴ 解得 ∴y=x2-4x+3．
　　（3）在x轴上存在点Q.
　　连结PB，由y=x2-4x+3=(x-2)2-1，得P（2，－1）.
　　设抛物线的对称轴交x轴于点M.
　　在Rt△PBM中，PM=MB=1，
　　∴△PBM为等腰直角三角形.
　　∴∠PBM=45°，PB= ．
　　由点B(3,0),C(0,3)，可得OB=OC=3，
　　∴△OBC为等腰直角三角形.
　　∴∠ABC=45°.
　　由勾股定理，得BC=3 ．
　　假设在x轴上存在点Q，使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似．
　　①当 ，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
　　即 ，∴BQ＝3.又∵BO＝3，∴点Q与点O重合.∴Q1的坐标是(0,0)．
　　②当 ，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC，
　　即 ，∴QB＝ ．∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－ ＝ .
　　∴Q2的坐标是（ ，0）．由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上．
　　综上所述，在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2（ ，0），能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似．

追问

第一题能答一下吗？

追答

点的坐标已求出，能求出各线段长度，则出现边与边的比例相等，即相似

Answer 2

难

追问

帮帮忙行吗，分不够再加