Question

高数微积分难题求解

设f（x）可微且F（x）=∫【a，x】（x-t）f‘（t）dx，则F‘（x）=
答案是∫【0，x】f（t）dt 【】这个是代表积分范围 你们懂得

Answer 1

题目把 dt 打成 dx 啦，积分变量很重要啊
F(x) = ∫【a，x】（x-t）f‘（t）dt
= ∫【a，x】xf'(t)dt - ∫【a，x】tf'(t)dt
=x ∫【a，x】f'(t)dt - ∫【a，x】tf'(t)dt
两边求导：
F'(x) = (x)' ∫【a，x】f'(t)dt + x（∫【a，x】f'(t)dt ）' - （∫【a，x】tf'(t)dt）'
= ∫【a，x】f'(t)dt + xf'(x) - xf'(x)
= ∫【a，x】f'(t)dt
好像还把f(t)打成f'(t)，不然怎么会差一个“ ' ”呢

Answer 2

F(x)=积分（从a到x）(x-t)df(t)=（x-t)f(t)|下限a上限x+积分（从a到x）f(t)dt=-(x-a)f(a)+积分（从a到x）f(t)dt，故F'(x)=-f(a)+f(x)=积分（从a到x）f'(t)dt

Answer 3

这是个积分上限函数，并由俩项相乘，故可先用分部积分分开，再分别求导就行了。