Question

求不定积分 ∫ln（1+1∕x）∕x（1+x）dx 步骤 谢谢

Answer 1

凑微分即可
原式=-∫ln(1+1/x)/(1+1/x)d(1+1/x)
=-∫ln(1+1/x)d[ln(1+1/x)]
=-1/2[ln(1+1/x)]²+C

Answer 2

原式=∫ln(1+1/x)dx/[x^2(1+x)]
=-∫ln(1+1/x)d(1+1/x)/(1+1/x)
设1+1/x=u,
原式=-∫lnudu/u
=-∫lnu(d(lnu)
=-(lnu)^2/2+C
=-[ln(1+1/x)]^2/2+C.

Answer 3

见图片吧

Answer 4

∫ln（1+1∕x）∕x（1+x）dx
=∫ [ln(1+x)-lnx]*[1/x-1/(1+x)]dx
=∫ 1/x*ln(1+x)-lnx*1/x-1/(1+x)*ln(1+x)+1/(x+1)*lnx dx
=∫ ln(1+x) dlnx ∫ -lnx*1/x-1/(1+x)*ln(1+x)+1/(x+1)*lnx dx
=lnx*ln(x+1) - ∫1/(x+1)*lnx dx + ∫ -lnx*1/x-1/(1+x)*ln(1+x)+1/(x+1)*lnx dx
=lnx*ln(x+1)+ ∫ -lnx*1/x-1/(1+x)*ln(1+x)dx
=lnx*ln(x+1)+ ∫-lnxdlnx+ ∫-ln(x+1)dln(x+1)
=lnx*ln(x+1) - [lnx]^2 - [ln(x+1)]^2 +c

Answer 5

先做积分： ∫1/x(1+x)dx=∫1/xdx-∫1/(1+x)dx=lnx-ln(1+x)=ln[x/(1+x)]=-ln[(1+x)/x]=-ln(1+1/x)
因此
∫ ln(1+1/x)/x(1+x)dx
=-∫ ln(1+1/x)d [ln(1+1/x)]
=-1/2[ln(1+1/x)]^2+C