Question

一道高中数列题目

Answer 1

1）
∵f(1)=n²对一切正整数n成立
∴a1+a2+a3+……+an=n²
∴a1+a2+a3+……+a(n-1)=(n-1)²
∴an=n²-(n-1)²=2n-1为所求
2）
记bn=an+2^n
∴bn=2n-1+2^n
……
b3=5+2^3
b2=3+2^2
b1=1+2
∴Tn=(1+3+5+……+(2n-1))+(2+2^2+2^3+……+2^n)
=n(1+2n-1)/2+2*(1-2^n)/(1-2)
=n²+2^(n+1)-2为所求
3）
记cn=1/(an*a(n+1))

∴cn=1/((2n-1)(2n+1))=1/2*(1/(2n-1)-1/(2n+1))
……
c3=1/2*(1/5-1/7)
c2=1/2*(1/3-1/5)
c1=1/2*(1-1/3)
∴Pn=1/2*(1-1/(2n+1))=n/(2n+1)为所求
4）

记gn=an*(1/3)^n
∴f(1/3)=g1+g2+g3+……gn
gn=(2n-1)*(1/3)^n
g(n-1)=(2n-3)*(1/3)^(n-1)
……
g3=5*(1/3)^3
g2=3*(1/3)^2
g1=1*(1/3)^1
∴f(1/3)=1*(1/3)^1+3*(1/3)^2+5*(1/3)^3+……+(2n-1)*(1/3)^n
∴3f(1/3)=1*(1/3)^0+3*(1/3)^1+5*(1/3)^2+……+(2n-1)*(1/3)^(n-1)
∴3f(1/3)-f(1/3)=1-2*((1/3)^1+(1/3)^2+……+(1/3)^(n-1))-(2n-1)*(1/3)^n
∴2f(1/3)=1-2*1/3*(1-(1/3)^(n-1))/(1-1/3)-(2n-1)*(1/3)^n
=1-(1-(1/3)^(n-1))-(2n-1)*(1/3)^n
=(1/3)^(n-1)-(2n-1)*(1/3)^n
=3*(1/3)^n-(2n-1)*(1/3)^n
=(2-2n)*(1/3)^n
∴f(1/3)=(1-n)*(1/3)^n≤0＜1
所求得证

追问

少一个题啊

追答

正在做，用放缩法
记rn=1/(an)²
rn=1/(2n-1)²＜1/((2n-3)(2n-1))=1/2*(1/(2n-3)-1/(2n-1))
……
r4＜1/2*(1/5-1/7)
r3＜1/2*(1/3-1/5)
r2＜1/2*(1/1-1/3)
r1=1/a1²=1
∴Rn≤1+1/2-1/2(2n-1)=3/2-1/(4n-2)，n∈N
当n=1时，
R1=3/2-1/2=1=1/a1²=r1