Question

如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交与A(-1,0),B(3,0

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；
（3）设抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A、B分别代入抛物线方程解得b=-2 c=-3
（2）由A（-1，0），B（3，0）且S△PAB=8，则有P点纵坐标|y|=2S△PAB/[3-(-1)]=4，有图形知y=-4代入抛物线得P（1，-4）
(3)将x=0代入抛物线方程得y=-3,C(0,-3)，利用A、C两点间距离公式求得|AC|=2,
由抛物线方程易知其对称轴x=1,同一平面这两条直线的最短距离等于C到x=1得距离为1，注意此时Q（1，-3）
利用三角形两边之和大于第三边可知此时|AC|+|CQ|最小为2+1，△PAB周长最小为3+根号13

Answer 2

解：（1）A、B两点都在抛物线上，并且都通过x轴，则A、B代入方程有
（-1）²+（-1）×b+c=0
3²+3b+c=0
由以上两个式子可求得 b=-2 c=-3
（2）由（1）可得抛物线方程为y=x²-2x-3
设P点的坐标为（m,h)
过P点做垂直于x轴的直线，则三角形PAB的高为h的绝对值，则
∵|AB|=4 ∴S△PAB=½×4×|h|=8解得h=±4
分别代入抛物线方程可解得P的坐标为（±根号8+1，4）、（1，-4）
（3）由图以及方程可知抛物线的对称轴为x=3
则设Q的坐标为Q（3，y。）A(-1,0),C(0,-3)
求得目标函数Z（貌似有什么公式定理的~偶记不清了，谅解哈）

Answer 3

1、将点A（-1，0）、点B（3,0）代入方程y=x2+bx+c，求得b=-2,c=-3；原方程为y=x2-2x+1；2、过P向X坐标作垂线，交X轴线为F，S△PAB=1/2AB*FP=8,，则1/2*4*FP=8，FP=4，即为P点的纵坐标，将P（X，4）代入方程y=x2-2x+1，得出P的横坐标X=1；P（1,4）。
3、交点C坐标为（-3,0)，对称轴x=-1；设Q为（x,y），则Q为（1,y)；根据勾股定理和方程准线原理，得y2+2*2的算术根加上1*1+（3-y)2的算术根加上AC的长度为△QAC的周长，而AC的长度恒不变，要算y2+2*2的算术根加上1*1+（3-y)2的算术根的最小值，；y2+2*2和1*1+（3-y)2又分别是两个抛物曲线方程，求两个共同交点y=1时，之和有最小值5的算术根加5的算术根。

Answer 4

解：1）b=-2，c=1.. 2)设p(x,y)，则s△PAB=1/2AB×/y/,解得y=4,或y=-4.，因为y=x²-2x+1.故当y=4时x=-1,或x=3.故P（1,4），p(3,4).。当y=-4时，x²-2x+1=--4无实数根。故p(1,4).p(3,4).. 3)显然当Q(1,0)时△QAC的周长最小，这时周长为2+2倍根2.

Answer 5

已经写在图片上了