Question

如图,抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(1,0)B(-3,0)两点

如图,抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点
(1)求该抛物线的解析式
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大？若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由

Answer 1

：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x^2+bx+c中得
-1+b+c=0-9-3b+c=0∴b=-2c=3∴抛物线解析式为：y=-x^2-2x+3
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x^2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3
x=-1时，y=-1+3=2，
∴点Q的坐标是Q（-1，2）；
（3）存在．（8分）
理由如下：如图，设P点（x，-x^2-2x+3）（-3＜x＜0），
则PE=（-x^2-2x+3）-（x+3）=-x^2-3x，
∴S△BPC=（1/2）×PE×[x-（-3）]+（1/2）×PE×（0-x），
=1/2（x+3）（-x^2-3x）+1/2（-x）（-x^2-3x）
=-3/2（x+3/2）2+27/8，
当x=-3/2时，△PBC的面积有最大值，最大值是27/8，
当x=-3/2x^2-2x+3=15/4
∴点P坐标为（-3/2，15/4）
望采纳，谢谢。

Answer 2

(1)y=-x²-2x+3
(2)存在．
抛物线的对称轴为x=-1，C(0,3)关于抛物线的对称轴x=-1的对称点是D(-2,3)
连接AD，与x=-1交点即为点P(-2,3/2)．
（3）存在．
P在抛物线的顶点时P到BC的距离最大，所以x＝－1，y＝4,P(－1,4)
S△PBC=1/2(3+4)*1+1/2*2*4-1/2*3*3=3
即P(－1,4)，△PBC面积的最大值为3

Answer 3

解①依题意可知方程-x²+bx+c=0的两个根是x1=1
x2=-3
即方程x²-bx-c=0的两个根为1和-3
由韦达定理
b=1-3=-2
-c=1×(-3)
c=3
所以抛物线的解析式为y=-x²-2x+3
②存在
设C关于抛物线对称轴对称的点位D
令x=0由抛物线的解析式可以求得C的坐标为(0,3)
再令-x²-2x+3=3
（C和D的纵坐标都是3）
解得x=0或-2
即D得坐标为(-2,3)
因为C、D关于对称轴x=-1对称
Q是对对称轴上的一点
于是有CQ=DQ
(这一步尤为关键)
△QAC的周长C=CQ+QA+AC=DQ+QA+AC
当点D、Q、A三点在一条直线上时，周长C最短
（画图配合，就能明白）
因为D(-2,3)，A(1,0)
求得直线DA的表达式为y=-x+1
直线DA与对称轴x=-1交于(-1,2)
该点即为使得△QAC周长最短的Q点
③设P到直线BC的距离为d
于是△PBC的面积的面积S=1/2×d×|BC|
|BC|的长度固定，于是题目转变成为抛物线上是否有一点P距直线BC的距离最大。
显然是存在的，
不妨过第二象限内抛物线上的点作直线BC的平行线
可以找到P'与抛物线相切，此时P‘距直线BC的距离是最大的。
因此在第二象限呢存在一点P，使得△PBC的面积最大。
（题目没有要求求出P的坐标，可以不求。若你想求出来的话可以通过二次函数的导数等于直线BC的斜率确定出P点的坐标）