Question

如图,抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OC=3OA

如图,抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OC=3OA
若D为抛物线上第一象限内一点，tan∠ACD=3分之5，求CD解析式
若顶点为M，以B为圆心，AC为半径作圆B与抛物线在第二象限内交于N，求N的坐标
图在http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/4b8550af-1757-4d89-aca4-09b5d7de9bed上

Answer 1

(1)C(0,-3),∵OC=3OA,∴A(-1,0)
代入解析式得b=-2,∴y=x²-2x-3
AC方程为-3,设CD斜率为k,到角公式得tan∠ACD=(-3-k)/(1-3k)=5/3,k=7/6
∴直线方程为y+3=7x/6,y=7x/6-3
把所求直线方程代入抛物线方程中消去y得x²-19/6*x=0
韦达定理得x1+x2=19/6,∵有一个交点是C,∴D的横坐标为19/6,此时y=7/6*19/6-3=25/36>0,即D(19/6,25/36)在第一象限,符合题意
(2)B(3,0),AC=√10,∴圆的参数方程为
x=3+√10cosθ,y=√10sinθ,θ∈[0,2π)
代入抛物线方程得√10sinθ=(3+√10cosθ)²-2(3+√10cosθ)-3
即sinθ=√10cos²θ+4cosθ
若cosθ=0,等式右边为0,但此时sinθ=±1,等式不成立,∴cosθ≠0
两边除以cosθ得tanθ=√10cosθ+4.
∵N在第二象限,∴x<0,y>0,即sinθ>0,cosθ<-3/√10,∴θ是第二象限角
∴tanθ=√10cosθ+4<0,cosθ<-4/√10<-1,与cosθ∈[-1,1]矛盾
∴圆和抛物线交点不可能在第二象限