Question

如图，在平面直角坐标系中

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B与原点O重合，A（0，8），C（12，0）。将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕为MN，过点E做EQC⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP.各位大哥，帮忙想想，我在线等，谢谢哈。图在下面
不好意思，没说明白，求证四边形ABCD是菱形

Answer 1

∵E是O（B）点关于MN的对称镜像点，
∴MN是BE的垂直平分线，
∵M和P都在MN上，
∴BM=ME，BP=PE，
∴△BEP是等腰△，
∴〈BEP=〈EBP，
∵EP⊥BC，AB⊥BC，
∴EP//MB，
∴〈BEP=〈MBE，（内错角），
∴〈MBE=〈EBP，
设BE和MP交于F点，
〈MFB=〈PFB=90°，
BF=BF，
〈MBF=〈PBF，
则RT△MFB≌RT△PFB，
∴BM=BP，
∴BM=ME=PE=BP，
∴四边形BMEP 是菱形。

Answer 2

证明:∵CE=CO=12.
∴DE=√(CE^2-CD^2)=4√5,AE=12-4√5.
设ME=MO=X,则MA=8-X.
MA²+AE²=ME²,(8-X)²+(12-4√5)²=X², X=18-6√5;则点M为(0,18-6√5).
由M(0,18-6√5)和C(12,0)可求得直线CM为:y=[(√5-3)/2]x+18-6√5.
EQ垂直X轴,则点P与E的横坐标相同,也为12-4√5,把X=12-4√5代入直线CM的解析式得:
y=[(√5-3)/2]*(12-4√5)+18-6√5=6√5-10.即PQ=6√5-10，EP=EQ-PQ=18-6√5；
又OC=EC,PC=PC,∠OCP=∠ECP,则:⊿OCP≌⊿ECP(SAS),OP=EP.
∴EF=OF=OM=EM,得四边形OMEF为菱形。