Question

高一数学轨迹方程问题

已知圆x²+y²=1，直线过（2,0）求直线截圆的弦的中点的轨迹？要过程！！！！！

Answer 1

解：设直线方程为y=k(x-2)，代入圆方程得
x^2+k^2*(x-2)^2=1，也即
(1+k^2)x^2-4k^2*x+4k^2-1=0 ①
设交圆于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，有
x1+x2=4k^2/(1+k^2)
y1+y2=k(x1-2)+k(2x-2)=k(x1+x2)-4k=4k^3/(1+k^2)-4k=-4k/(1+k^2)
于是弦中点P(x,y)满足
x=2k^2/(1+k^2),
y=-2k/(1+k^2)
故轨迹方程为y^2=2x
但是需要考虑x或y的取值范围。显然当直线与圆相切时为两个极限位置。令一元二次方程式①的△=0，得3k^2=1，故k=±√3/3,则有0≤x≤1/2
于是轨迹方程为y^2=2x，0≤x≤1/2

Answer 2

圆心O(0,0)
设已知点A（2,0）
OA 中点为N（1,0）
弦的中点为M（x,y)
由垂径定理，OM⊥MA
所以 △OMA是直角三角形
所以 NM=(1/2)AN (斜边中线=斜边的一半)
所以 NM=1
所以 M的轨迹方程 (x-1)²+y²=1 （0≤x<1/2)

Answer 3

不会啊