Question

如果x^4-x^3+mx^2-2mx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个

Answer 1

∵ x^4-x^3+mx^2-2mx-2若能分解成两个二次项的积只能是(x^2+ax-2)(x^2+bx+1)或
(x^2+ax+2)(x^2+bx-1)两种形式
①设x^4-x^3+mx^2-2mx-2=(x^2+ax-2)(x^2+bx+1)
等式右侧的展开式是x^4+(a+b)x^3+(ab-1)x^2+(a-2b)x-2
∴a+b=-1
ab-1=m
a-2b=-2m
∴-2ab+2=a-2b
a=(2b+2)/(2b+1)=1+1/(2b+1)
∵a,b都是整数，∴解得b=-1,a=0,m=-1
∴x^4-x^3-x^2+2x-2=(x^2-2)(x^2-x+1)
②设x^4-x^3+mx^2-2mx-2=(x^2+ax+2)(x^2+bx-1)
等式右侧的展开式是x^4+(a+b)x^3+(ab+1)x^2+(2b-a)x-2
∴a+b=-1
ab+1=m
2b-a=-2m
∴2ab+2=a-2b
a=(-2b-2)/(2b-1)=(-2b+1)/(2b-1)-3/(2b-1)=-1-3/(2b-1)
∵a,b都是整数,∴解得b=-1,a=0,m=1
∴x^4-x^3+x^2-2x-2=(x^2+2)(x^2-x-1)
综上所述m=±1,二次因式的积分别是①，②两种情形。