Question

问f(x)在哪个区间有界？选A求具体过程，谢谢。

Answer 1

这函数有三个间断点，x=0，x=1，x=2
基本上根据目测就能知道，x=0是跳跃间断点，有界
x=1是无穷间断点，无界
x=2是可去间断点，有界
所以含1为端点的区间都不行
选A

PS：目测方式：
x=0这间断点，分子有|x|对应，当x＞0和x＜0时，有不同的表达式，所以只可能是跳跃间断点或可去间断点，有界。
x=2这个间断点，分子的sin（2-x）和分母的x-2在进行等价无穷小替换后，可以约去，是可去间断点，有界。
x=1这个间断点，分母为0，分子不为0，极限是无穷大，是无穷间断点。

追问

问一下第一类间断点为什么是有界的，还有x=2也是无穷间断点吧

追答

目测方式：
x=0这间断点，分子有|x|对应，当x＞0和x＜0时，有不同的表达式，所以只可能是跳跃间断点或可去间断点，有界。
x=2这个间断点，分子的sin（2-x）和分母的x-2在进行等价无穷小替换后，可以约去，是可去间断点，有界。
x=1这个间断点，分母为0，分子不为0，极限是无穷大，是无穷间断点。

如果间断点处，有左右极限，就说明在邻域左边趋近于左极限，右边趋近于右极限。那么总能找到某个邻域内有界。所以第一类间断点都是有界的间断点。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

重点是分别敲定x趋近于-1，0,1,2时f(x)趋近啥，看是有限还是无限
x趋近-1时可以直接带入算出常数，极限存在，有限
x趋近0时分子|x|与分母x可以约个正负1，剩下的部分不难计算出是个常数，此时极限存在，是有限的
x趋近1时分子|x|与分母x约了，分子sin和分母(x-2)可算出是常数，唯独分母x-1趋近于零，意味着式子趋近无穷大。
x趋近2时分子|x|与分母x约了，分子sin和分母(x-2)皆趋近零用个等价无穷小量也约了，剩下的x-1是常数，此时极限存在，有限
由此可知x=1处函数无穷大是无界的，BC不选，因此有界的只有（-1,0）