Question

被积函数的原函数可以有不可导点或者间断点么？

Answer 1

不可以。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。函数在某一点连续时，可能出现两折线的尖点，尖点的左右极限不同，则函数在该点不可导。

函数在跳跃间断点和可去间断点处只有左连续和右连续，所以没有原函数。函数f在区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，则称f在[a,b]上分段连续，有无穷个间断点不连续，所以没有原函数。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。 函数在某一点连续时，可能出现两折线的尖点，尖点的左右极限 不同，则函数在该点不可导。
一:如果被积函数连续,则必有原函数.
二:如果被积函数有第一类间断点,即存在可去或跳跃间断点,则原函数不存在.
三:如果被积函数有第二类间断点,则情况不确定,

追问

那原函数一定连续么？可以有不可导点么？

Answer 3

可以