Question

已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|

1）若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程
（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程

Answer 1

设P（x,y),
(x+3)^2+y^2=4(x-3)^2+4y^2,
(x-5)^2+y^2=16,
∴曲线是一个圆，半径为5，圆心（5，0）。
2、|QM|的最小值应该是两条垂直l1且和圆相切的切线，
直线x+y+3=0斜率k1=-3,则切线斜率k2=1/3,
设切线方程为:y=x/3+m,
代入圆方程，
（x-5)^2+(x/3+m)^2=16,
10x^2+((6m-90)x+81+9m^2=0,
当只有一个公共点时△=0，
（6m-90)^2-4*10*(81+9m^2)=0,
3m^2+10m-15=0,
(3m-5)(m+5)=0,
m1=5/3,m2=-5,
∴二切线方程为：y=x/3+5/3,
y=x/3-5.,
此时|QM|为最小。