Question

证明任意一个定义在（-a,a）（a＞0）上的函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数只和。

Answer 1

对任意函数f(x)，令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2。

g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，所以g(x)是偶函数。

h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，所以h(x)是奇函数。

两式相加，g(x)+h(x)=f(x) ，所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

如果对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数

特点：
①奇函数图象关于原点（0,0）对称。

②奇函数定义域关于原点（0,0）对称。

③若奇函数f（x）在x=0上有意义，则f（0）=0.

④若奇函数f（x）在定义域I上可导，则f'（x）在I上为偶函数。

性质：

①两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。

② 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

③两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

④一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能称为偶函数。

特点：

①如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x；

②如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.

③定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件.

Answer 2

记f(x)为定义在(-a,a)上的函数。
令F(x)=1/2(f(x)+f(-x)),G(x)=1/2(f(x)-f(-x)),容易看出F(x),G(x)也是定义在(-a,a)上的函数，并且F(x)是偶函数，G(x)是奇函数。
容易验证f(x)=F(x)+G(x)。
ps：这种技巧在数学上很常见，尤其是在一些不等式的放缩里，将a写成1/2(a+b)-1/2(a-b)的形式有时可以达到出其不意的效果。并且楼主这个问题的结论可以有很大范围的推广，在一些较深入的数学分支里也有很多类似的命题，值得好好探究。

Answer 3

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