Question

线性代数 这两个方程组同解，求a,b。把两个方程组的系数矩阵和在一起化成行阶梯型之后再怎么算啊？答

线性代数 这两个方程组同解，求a,b。把两个方程组的系数矩阵和在一起化成行阶梯型之后再怎么算啊？答案是a=13,b任意数。但是不理解为什么。求解释。感激不尽

Answer 1

A =
[1 0 3 5]
[1 -1 -2 2]
[2 -1 1 3]
[1 2 a b]
行初等变换为
[1 0 3 5]
[0 -1 -5 -3]
[0 -1 -5 -7]
[0 2 a-3 b-5]
行初等变换为
[1 0 3 5]
[0 1 5 3]
[0 0 0 -4]
[0 0 a-13 b-11]
前 3 行 是第 1 个方程组系数矩阵的阶梯形，
全部 4 行 是第 2 个方程组系数矩阵的变形。
两个方程组同解， a-13 必为 0（否则不会同解）
则 a =13，即得
[1 0 3 5]
[0 1 5 3]
[0 0 0 -4]
[0 0 0 b-11]
进一步行初等变换为
[1 0 3 5]
[0 1 5 3]
[0 0 0 1]
[0 0 0 0]
则 b 可取任意值。

追问

为什么a要是13啊

这个对吗

追答

a ≠ 13 时， 第一个方程组系数矩阵的秩是 3，第二个方程组系数矩阵的秩是 4，不可能同解。

追问

如果a不等于13，那么x3就等于0，也成立啊

但是仅仅是秩相等，它们就同届吗？

？？

追答

......, 进一步行初等变换为
[1 0 3 0]
[0 1 5 0]
[0 0 0 1]
[0 0 a-13 0]
对于前 3 行代表的 第 1 个方程组， r(A) = 3 < 4,
方程组有非零解 x = k(3, 5, -1, 0)^T, 其中 k 为任意常数。
当 a ≠ 13 时，对于 4 行代表的 第 2 个方程组， r(A) = 4,
方程组只有唯一解，即零解 x = (0, 0, 0, 0)^T。
尽管零解也满足第一个方程组， 但第一个方程组有非零解，
第二个方程组没有非零解，两个方程组还是不能算同解。
当 a = 13 时，即
[1 0 3 0]
[0 1 5 0]
[0 0 0 1]
[0 0 0 0]
对于 4 行代表的 第 2 个方程组， r(A) = 3,
方程组的通解是 x = k(3, 5, -1, 0)^T, 其中 k 为任意常数。
与第 一 个方程组同解。

追问

你说的我懂了，但是秩相仅仅是同解的必要条件啊，怎么可以这样算呢？

追答

不同的两个方程组，光秩相同还不行。
本题两个方程组， 前 3 个方程完全相同。故用秩相同判断可以。

Answer 2

追问

这是什么定理或者结论吗？

而且小于等于3的话可以a=13,b=11啊

追答

结论吧，我给你找找原题

只要a=3，则秩一定是3

跟b无关

追问

这个结论完整的怎么说？

这就是原题，但是答案最后不懂为什么a=13,b任意

下面方法2我懂

为什么啊？

追答

我上面写错了。

你这题不全吧，0解也是共解

追问

0也是啊

哪里不全了，他没让求解啊，只让求a，b

他说同解，不是有公共解

追答

讲不通了