Question

一初中难度数学题

问题在百度百科《倒数》中的“倒数的疑问”--“1和0的倒数问题的几何演示”
http://baike.baidu.com/view/294349.htm#6 （往下翻）
如图（大家进网页看吧），数轴上方与单位圆P相切，交点为数轴原点O。
数轴上的点X向圆P作另一条切线，得切点A。数轴上的每个点都可以对应单圆P上的相应切点——称为投影，X在单位圆上的投影是A。
我们再来看看X的倒数1/X在圆P上的切点B，连接AB。
可证，AB垂直于数轴。（这就是我的问题，如何证？）

我不缺财富值，大家帮忙哈！

Answer 1

两个方法，
几何证明：
设：x的点为D，1/x的点为E，连接PD，PE，记AD与BE的交点为F
因为OP=1，OD=x，OE=1/x
所以OP/OD=OE/OP
又因为∠POD=∠POE=90°
所以△POE∽△DOP
所以∠OPE=∠PDO
因为∠OPB=2∠OPE ∠ODA=2∠PDO(因为都是切线的交点，所以显然有)
所以∠OPB=∠ODA
因为 四边形PODA，∠POD=∠PAD=90°
所以 ∠ODA+∠OPA=180°
因为 ∠OPA+∠QPA=180°
所以 ∠ODA=∠QPA=∠OPB
因为 FP平分∠APB
所以 ∠OPF=∠OPB+∠BPF=90°
所以 PF∥数轴
所以AB⊥数轴
(这个证法后面写的有点简略，希望LZ能看懂)

解析几何：(没有几何证法那么直观，但是也还行)
以数轴为t 轴(应该是x轴，但是那两个点的坐标是x，为了不混淆设为t)，OQ为y轴建立平面直角坐标系
设(x,0)为D点，(1/x,0)为E点，连接PD，PE
接下来就是求BE和AD两条直线的表达式
tan∠PEO=OP/OE=x
tan∠BEO=tan2∠PEO=2x/(1-x²) (前一个等号应该是显然的，后面是tan的倍角公式，不知道LZ学过没)
所以直线EB的斜率为2x/(1-x²)，且过点(1/x,0)，则EB的解析式为: y=2x/(1-x²) *(t-1/x)
同样的
tan∠PDO=PO/DO=1/x
tan∠ADO=tan2∠PDO=2x/(x²-1)
所以直线AD的斜率为2x/(x²-1)，且过点(x,0)，则EB的解析式为: y=2x/(x²-1) *(t-x)
所以AD与BE的交点F坐标((x²+1)/2 , 1)
所以PO∥t轴(因为F与P到数轴距离均为1)
所以AB⊥t轴(即数轴)

Answer 2

设：x的点为D，1/x的点为E，连接PD，PE，记AD与BE的交点为F
因为OP=1，OD=x，OE=1/x
所以OP/OD=OE/OP
又因为∠POD=∠POE=90°
所以△POE∽△DOP
所以∠OPE=∠PDO
因为∠OPB=2∠OPE ∠ODA=2∠PDO(因为都是切线的交点，所以显然有)
所以∠OPB=∠ODA
因为 四边形PODA，∠POD=∠PAD=90°
所以 ∠ODA+∠OPA=180°
因为 ∠OPA+∠QPA=180°
所以 ∠ODA=∠QPA=∠OPB
因为 FP平分∠APB
所以 ∠OPF=∠OPB+∠BPF=90°
所以 PF∥数轴
所以AB⊥数轴

Answer 3

正。