Question

已知函数f(x)=2x^2+(4

已知函数f(x)=2x^2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx,若对于任意实数X,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是?(具体过程)

Answer 1

(1)若 ⊿=(4-m)²-8(4-m)<0，则-4<m<4，f(x)>0恒成立。故-4<m<4符合题意。
(2)若 ⊿≥0，则 m≥4或m≤-4
①当m≥4时，由x≤0时，g(x)≤0，所以 当x≤0时，须有f(x)>0恒成立。
而由 f(0)=4-m>0，得 m<4，无解；
②当m≤-4时，由x≥0时，g(x)≤0，所以 当x≥0时，须有f(x)>0恒成立。
对称轴为x=(m-4)/4<0，f(x)在[0，∞)上增，从而 只须f(0)=4-m>0，得 m<4
所以m≤-4 符合题意。
由（1）（2），实数m的取值范围是m<4

Answer 2

根据题意可知，
f(x)与g(x)对于任意实数x不存在同时小于0的可能性，即：f(x)+g(x)<0的情况不存在。
所以 2x²+(4-m)x+4-m+mx<0不成立。
即：2x²+4x+4-m ≥ 0。
此二次函数曲线开口向上，因为函数值总不小于0，意味着函数与x轴无交点或有一个交点。
即判别式△≤0
有：
16-8(4-m) ≤ 0
16 ≤ 8(4-m)
4-m ≥ 2
m ≤ 2

所以m取值范围为(-无穷，2]。

Answer 3

x=0时：f(0)=4-m与g(0)=0 由题意，m<4;4-m<0 则f(x)图像的对称轴x=(m-4)/4在y轴的左侧； 所以x>=0时，f(x)>0 (1) 若m<0,则x>=0时，f(x)>0 ；x<0时,g(x)>0符合题意
（2）m=0时，显然成立
（3）0<m<4时，由于x=(m-4)/4时，g(x)<0，故f(x)>0 必须成立；
由f（(m-4)/4)>0 得-4<m<4;所以0<m<4时符合题意
综上可知：m<4时，对于任意实数X,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数。

Answer 4

g(x)=mx可正可负
f(x)=2(x+1-m/4)^2+(4+m) (4-m )/8>0
(4+m)(4-m)>0, -4<m<4