Question

如图，点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM,BN交于点Q

1、求证∠BQM=60°
2、思考下列问题
（1）如果将原题中的“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
（2）如果将原题中的点M、N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
（3）如果将题中的“等边三角形ABC”改为“直角等腰三角形ABC，且∠BAC=90°”是否仍能得到∠BQM=60°？
图

Answer 1

1、由“边角边”相等，推出：三角形BCN = 三角形ABM
故角CBN = 角BAM
由于ABC是等边三角形，故角ABN + 角CBN = 60°
因此，角ABN + 角BAM = 60°
从而，角AQB = 120°
即角BQM = 60度。
2、
（1）即论证：当【点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且角BQM = 60°，AM,BN交于点Q】时，能否证得 BM=CN。
答：命题为真。理由很简单，逆推回去就行了，就跟证第一个问一样，最后用“角边角”关系证明三角形BCN = 三角形ABM就可以了。
（2）能。画图马上出结果，证明同1。
（3）不能。理由是在开头就不能运用“边角边”相等，推出：三角形BCN = 三角形ABM。从而导致以下证明无法进行。

追问

。。。没图你们是怎么做的

追答

自己画啊，你不都说得很清楚了吗？
点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM,BN交于点Q
图就不用了吧……晕

怎么样？看懂了没？不懂可以继续追问^_^

Answer 2

1，证明：因为三角形ABC是等边三角形，所以AB=BC，角ABC=角ACB=60度，因为BM=CN，所以三角形ABM和三角形BCN全等，所以角BAM=角CBN，因为角BQM=角BAM+角ABQ，角ABC=角ABQ+角CBN=60度，所以角BQM=60度
2（1）是真命题
（2）能得到角BQM=60度
（3）不能得到角BQM=60度

Answer 3

1.∵AC=AB，∠BAC=∠C=60°，AN=CM
∴△ABN与△AMC全等
∴∠MAC=∠ABN
∵∠BQM=∠AQN=∠ABN+∠BAM=∠BAM+∠MAC=∠BAC=60°
2.（1）真，同样的全等三角形
（2）能
（3）不能，∠BQM=90°

Answer 4

∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠C
在△BNC与△AMB中
{AB=BC
{∠ABC=∠C
{BM=CN
∴△BNC全等△AMB（SAS)
∴∠BAM=∠NBC
∴∠AQN=∠MAB+∠ABN=60°(外角的意义）
∴∠BQM=60°(对顶角相等）

Answer 5

图呢？

追问

忘了，图已上传，请耐心等待