Question

函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0.

(1)求f（0）的值
(2)当f(x)+2<loga x ,x属于（0,1/2）恒成立时，求a的取值范围

Answer 1

(1)令x=1 y=0则有f(1+0)-f(0)=1(1+2*0+1)=2
因为f(1)=0 所以f(0)=-2
(2)f(x)+2=f(x)-(-2)=f(x)-f(0)=x(x+1)
当x属于（0,1/2）时，x(x+1)递增，最大值为3/4
因为loga x 在当a>1时递增 但是在x属于（0,1/2）时恒小于零，不符合命题结论
所以0<a<1 loga x此时在x属于（0,1/2）上递减，最小值为loga 1/2
当恒成立时，则3/4小于等于loga 1/2
解得a小于等于1/2的4/3次方

Answer 2

（1）：另x=1，y=0
f(1)-f(0)=2 f(0)=-2
(2):另y=0
f（x）+2=x(x+1) f(x)=x^2+x-2
x^2+x<loga x 易知a∈（0，1）
分离变量解得a∈（(1/16)^1/3 ，1）
不懂追问

追问

怎么知道a∈（0，1）？
我需要第（2）问的更详细的解答过程

追答

因为x^2+x显然大于0，而当a>1时，loga x 当x∈(0,1/2)时显然小于零，而0lnx/(x^2+x) 恒成立，即lna大于右侧函数最大值，右侧函数求导可知在定义域上递增，所以lna>ln（1/2）/ (3/4)
最后得上述结果

Answer 3

(1)取x=1，y=0，则f(1)-f(0)=-f(0)=2，f(0)=-2。
(2)f(x)+2=f(x+0)-f(0)=x(x+1)=x^2+x<loga(x)，(1/2)^2+1/2=loga(1/2)，a=(1/16)^(1/3)
0<a<(1/16)^(1/3)