Question

如图已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4) (1)求这条抛物线的解析式;

已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）
⑴求此抛物线的解析式
⑵设此抛物线与直线y=x相交于点A,B（点B在点A右侧，平行于y轴的直线x=m(0<m<根号5+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长。（用含m的代数式表示）
⑶在条件⑵情况下，连接OM,BM,是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，求出m，若不存在，说明理由。

Answer 1

1.将点（1，-5）和（-2，4）带入抛物线y=x2+bx+c，则有-5=1+b+c和4=4-2b+c，求出b=-2，c=-4
带入得出抛物线的解析式：y=x2-2x-4

2.设N点为（x1，y1），M点为（x2，y2）。其中x1=x2=m=y1，求MN的长度，需求出y2.
MN=y1-y2.将M点的横坐标x2=m带入y=x2-2x-4，则有：y=m2-2m-4=y2.
则MN=y1-y2=m-（m2-2m-4）=-m2+3m+4（0<m<根号5+1）

3.要使三角形ABM的面积最大，则应该使M点到AB得距离最大（因为三角形ABM的面积=1/2ABd，d即为M点到AB得距离）。
根据点到直线的距离公式d=|AX+BY+C|/根号下（A平方+B平方）可求出d
公式中：A=1，B=1,C=0，X和Y为点M的坐标（第2题已经求出），将它们带入公式得出：
d=|m2-m-4|/根号2=|（m-0.5）平方-17/4|/根号2，即当m=0.5时，d有最大值

Answer 2

解：（1）由题意得
b+c=-6-2b+c=0​，
解得b=-2，c=-4，（3分）
∴此抛物线解析式为：y=x2-2x-4；

（2）由题意得：y=xy=x2-2x-4​，
∴点B的坐标为（4，4），
将x=m代入y=x条件得y=m，
∴点N的坐标为（m，m），
同理点M的坐标为（m，m2-2m-4），点P的坐标为（m，0），
∴PN=|m|，MP=|m2-2m-4|，
∵0＜m＜5+1，
∴MN=PN+MP=-m2+3m+4；

（3）作BC⊥MN于点C，
则BC=4-m，OP=m，
S=12MN•OP+12MN•BC，
=2（-m2+3m+4），
=-2（m-32）2+1212，（11分）
∵-2＜0，
∴当m-32=0，则m=32时，S有最大值．

Answer 3

y=x^2-2x-4, |MN|=-m^2+3m+4 , 当m=1.5时，s=2*(-m^2+3m+4)有最大值，为12.5

Answer 4

c=-2 b=-5

Answer 5