在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,(1...
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,(1)求证:△EGM为等腰三角形。(2)判断线段BG,AF与FG的数量关系,并证明你的结论
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解:(1)∵等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,∴AC=AB,∠ACB=∠ABC=45°,又∵AD=AE,∠CAD=∠BAE,∴△ACD≌△ABE(SAS),∴∠1=∠3,∵∠BAC=90°,∴∠3+∠2=90°,∠1+∠4=90°,∴∠4+∠3=90°∵FG⊥CD,∴∠CMF+∠4=90°,∴∠3=∠CMF,∴∠GEM=∠GME,∴EG=MG,△EGM为等腰三角形.(2)线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG.过点B作AB的垂线,交GF的延长线于点N.(见右图)∵BN⊥AB,∠ABC=45°,∴∠FBN=45°=∠FBA.∵FG⊥CD,∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB,∵AF⊥BE,∴∠BFA=90°-∠EBC ,∠5+∠2=90°,由(1)可得∠DCB=∠EBC,∴∠BFN=∠BFA,又∵BF=BF,∴△BFN≌△BFA(ASA),∴NF=AF,∠N=∠5,又∵∠GBN+∠2=90°,∴∠GBN=∠5=∠N,∴BG=NG,又∵NG=NF+FG,∴BG=AF+FG.望能采纳噢~
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∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中,
AF=FH,BF为公共边,∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°,∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中,
AF=FH,BF为公共边,∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°,∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG
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BG=AF+FG
证明:过CP∥AB,AF的延长线于P,
∵AF⊥BE,∠BAC=90°,
∵∠BAE=∠ACP=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠PAC+∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠PAC,
∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACP,
∵CP∥AB,
∴∠MCF=∠PCF,
∴△MCF≌△PCF,
∴BE=AP.MF=PF,EG=MG,
则BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG.
证明:过CP∥AB,AF的延长线于P,
∵AF⊥BE,∠BAC=90°,
∵∠BAE=∠ACP=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠PAC+∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠PAC,
∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACP,
∵CP∥AB,
∴∠MCF=∠PCF,
∴△MCF≌△PCF,
∴BE=AP.MF=PF,EG=MG,
则BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG.
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