Question

若函数f（x）满足f（loga^x）＝a/（a²-1）*（x-1/x），其中a＞0且a≠1

（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性
（2）当x∈（负无穷，2）是，f（x）-4的值恒为负数，求a的取值范围
要详细步骤，在线等答案，高手们帮帮忙....

Answer 1

1、
令loga^x=t，则x=a^t
f(t)=a/(a²-1)*(a^t-1/a^t)
所以，函数解析式为：
f(x)=a/(a²-1)*(a^x-1/a^x)

f(-x)=-f(x)
所以为奇函数

2、
a>1时，a^x递增，1/a^x递减，所以a^x-1/a^x递增
同时，a/(a²-1)>0，所以f(x)递增
a<1时，a^x递减，1/a^x递增，所以a^x-1/a^x递减
同时，a/(a²-1)<0，所以f(x)递增

因此，当x∈（负无穷，2）时，f(x)<f(2)
由f（x）-4的值恒为负数得不等式：f(2)-4<0
即a/(a²-1)*(a²-1/a²)-4<0
解得：2-√3<a<2+√3

Answer 2

第一步：令loga^x=t,则x=a的t次方，接下来就是将t带入式子，很简单了，自己算吧。