Question

三题积分题 求解 急！！！

1 已知曲线y=x^3+ax^2-9x+4在x=1有拐点，试确定系数a，并求曲线的拐点坐标和凹凸区间
2. a，b为何值时，点（1，3）为曲线y=ax^3+bx^2的拐点
3. 设三次曲线y=x^3+3ax^2+3bx+c，在x=-1处有极大值，点（0，3）是拐点，试确定a,b,c的值

急！！！11

Answer 1

1、已知曲线 y = x³ + ax² - 9x + 4 在 x = 1有拐点，
试确定系数a，并求曲线的拐点坐标和凹凸区间。
【解答】
dy/dx = 3x² + 2ax - 9
d²y/dx² = 6x + 2a
d²y/dx²|(x=1) = 6 + 2a = 0,
∴ a = -3
∴ d²y/dx² = 6x - 6 = 6(x-1)
∴ y|(x=1) = (x³ - 3x² - 9x + 4)|(x=1) = 1 - 3 - 9 + 4 = -7
拐点坐标：(1, -7)
当x>1, d²y/dx² >0，曲线上凹(Concave Up)
当x<1, d²y/dx² <0，曲线下凹(Concave Down)

2、a，b为何值时，点（1，3）为曲线 y = ax³ + bx² 的拐点。
【解答】
代入(1, 3)得：a + b = 3
dy/dx = 3ax² + 2bx
d²y/dx² = 6ax + 2b
代入 x = 1 得到：6a + 2b = 0, b = -3a, a = -3/2, b = 9/2

3、设三次曲线 y = x³ + 3ax² + 3bx + c，在 x = -1 处有极大值，点（0，3）是拐点，
试确定 a、b、c 的值。
【解答】
dy/dx = 3x² + 6ax + 3b
代入 x = -1 得到：3 - 6a + 3b = 0， 即：2a - b = 1
代入 x = 0 得到：c = 3
d²y/dx² = 6x + 6a
代入 x = 0 得到：6a = 0，a = 0， 所以，b = -1
a = 0，b = -1，c = 3