Question

设A为mxn矩阵，秩r（A）=r，则以下结论中一定正确的为？

(A) 当r=n时，非齐次线性方程组Ax=b有解； (B) 当r=m时，非齐次线性方程组Ax=b有解； (C) 当r<m时，非齐次线性方程组Ax=b有解；(D)当r<n时，非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解。

Answer 1

B) 正确。此时 A 行满秩, A再添加一列b后，秩仍然是m，即有r(A) = r(A,b)，故AX=b有解。

矩阵每一行拆开就是一堆向量；把一堆向量拼起来，就是一个矩阵。矩阵中所有行向量中极大线性代无关组的元素个数。极大线性无关组其实就是那个方程组中真正有价值的方程对应的系数向量。

扩展资料：

如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 2

(B) 正确.

此时 A 行满秩, A 再添加一列b 后 秩仍然是 m
即有 r(A) = r(A,b)
故 AX=b 有解.

追问

不好意思再问下 ，A和D选项错误的原因是？

追答

(A) r(A)=n 并不能保证 r(A,B)=n 方程组可能无解
(D) 同理, AX=b 可能无解