Question

设a是n×n矩阵，若对任意n维列向量b，线性方程组ax=b均有解，则矩阵a的秩为多少

Answer 1

a的秩为n
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首先把 a 化简成 [行阶梯形矩阵]，
1）
如果 a 的秩小于 n，则化简后的 a 必然会出现全0行 (因为a的秩 ＝ 化简后非0行的数量)
设 b = (b1 b2 ... bn)，x = (x1 x2 ... xn)
则必然会出现 0•x1 + 0•x2 + 0•x3 + ...... + 0•xn = bn (因为最后一行必为全0行)
即 0 = bn
如果 bn 不等于 0，则此式无解
＊＊因此，当 a 的秩小于 n，对任意向量b，线性方程组 ax＝b 可能会无解＊＊

2）
如果 a 的秩等于 n，则化简后的 a 不会出现全0行，那么
xn ＝ bn (最后一行等式)
xn-1 = ...（倒数第二行等式，可根据 bn-1 和 xn 计算出 xn-1）
xn-2 = ...（以此类推，求出 xn-2）
.........
x1 = ... (最后在第一行求出 x1)
＊＊因此，当 a 的秩等于 n，对任意向量b，线性方程组 ax＝b 有且有唯一解＊＊

3）
a 的秩不能大于 n，所以得出最后结论：a 的秩等于 n