Question

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量线性无关

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

根据一个定理r(AB)≤r(B)可得：n=r(E)=r(AB)≤r(B)≤n（秩不超过列数），所以r(B)=n，即B的列向量线性无关。

Answer 3

证明：

设B1，B2，…，Bn为B的列向量组，

假设存在k1，k2，…，Kn，使得k1B1+k2B2+…+knBn=0，

则：A（k1B1+k2B2+…+knBn）=0，

即：k1AB1+k2AB2+…+knABn=0．①

因为AB=I，

所以：ABj=ej，（j=1，…，n）

代入①可得，k1e1+k2e2+…+knen=0．

因为 e1，e2，…，en线性无关，

所以：k1=k2=…=Kn=0，

从而，B1，B2，…，Bn线性无关的．

扩展资料

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。