Question

如图，AB是圆O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交圆O于D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证： = ；
（3）若BC= AB，求tan∠CDF的值．
十万火急拜托各位好心人快点！！！

Answer 1

(1)相等，因为BC⊥直径AB，所以BC是圆切线，所以弦切角∠CBD与圆周角∠CEB相等；
(2)DE是圆O直径，所以∠DBE=90°，因为AB是圆O直径，所以∠ADB=90°，所以∠BDC
=∠DBE=90°，又由（1）知，∠CBD=∠CEB，所以△CBD∽△CEB，所以BD/BE = CD/BC；
(3)因为OA=OD，所以∠CDF=∠ADO=∠A，又∠A=∠CBD，所以tan∠CDF=tan∠CBD
=CD/BD，由切割线定理得BC²=CD*CB，即（2/3AB)²=CD*(CD+AB)，所以CD=AB/3，所以由勾股定理得到BD²=（2/3AB)²-(AB/3)²=1/3AB²，所以BD=√3/3AB，所以tan∠CDF=CD/BD=√3/3