Question

求根号下（1+x^2)的原函数，简要说下方法吧

Answer 1

令x=tanu，则dx=(secu)^2du，√(1+x^2)=secu
∫ √(1+x^2)dx
=∫ secu(secu)^2du
=∫ (secu)^3du 这是书上一道例题，需要熟记的
∫ (secu)^3du
=∫ secud(tanu)
=tanusecu-∫ (tanu)^2secudu
=tanusecu-∫ ((secu)^2-1)secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+∫secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+ln|secu+tanu|
然后将-∫ (secu)^3du移到左边与左边合并后，得
∫ (secu)^3du=1/2tanusecu+1/2ln|secu+tanu|+C
因此原式=1/2x√(1+x^2)+1/2ln|x+√(1+x^2)|+C

Answer 2

利用分部积分法

Answer 3

作代换x=sh t
积分就变成对ch²t的积分
积分得到[2t+sh(2t)]/4+C
由x=sh t解出t=ln[1+sqrt(1+x²)] sqrt表示开根
故积分为{2ln[1+sqrt(1+x²)]+2x²+1}/4+C
用x=tg t的积分过程会很复杂

追问

是不是x=sin t？

追答

不是。sh t=[e^t-e^(-t)]/2
ch t=[e^t+e^(-t)]/2
很容易验证ch²t=1+sh²t
以及它们互为对方的导数

追问

那tgt是什么

追答

tan t。一个意思。

Answer 4

x=tgt作第二类换元

追问

详细点啊

追答

积分sectdtgt=积分sec^3 t dt=