Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx在x=-2/3与x=1处都取得极值

(1)求函数f(x)的解析式。
（2）求函数f(x)在区间【-2,2】的最大值与最小值。

Answer 1

1、
f'(x)=3x²+2ax+b
由题意得：f'(x)=0，即3x²+2ax+b=0的两根分别为x1=-2/3和x2=1；
由韦达定理：x1+x2=-2a/3=1/3，得：a=-1/2；
x1x2=b/3=-2/3，得：b=-2；
所以函数解析式为f(x)=x³-x²/2-2x
2、
由（1）得f'(x)<0的解是：-2/3<x<1
所以，f(x)在(-2,-2/3)，(1,2)上都是递增的；在(-2/3,1)上是递减的；
f(-2)=-6，f(-2/3)=22/27，f(1)=-5/2，f(2)=2；
所以，f(x)在区间【-2,2】上的最大值为2，最小值为-6；

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(-2/3)=(4/3)-(4/3)a+b=0
f'(1)=3+2a+b=0
a=-1/2
b=-2
f(x)=x^3-(1/2)x^2-2x
f'(x)=3x^2-x-2
(2)令f(x)=0
x=-2/3
x -2 (-2,-2/3) -2/3 (-2/3,1) 1 (1,2) 2
y' + 0 - 0 +
y -6 ↑ 22/27 ↓ -3/2 ↑ 2
f(x)在[-2,2]最大值2 ,最小值-6

Answer 3

先求导数
f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(-2/3)=(4/3)-(4/3)a+b=0
f'(1)=3+2a+b=0
a=-1/2
b=-2
f(x)=x^3-(1/2)x^2-2x
f'(x)=3x^2-x-2
(2)令f(x)=0
x=-2/3
x -2 (-2,-2/3) -2/3 (-2/3,1) 1 (1,2) 2
y' + 0 - 0 +
y -6 ↑ 22/27 ↓ -3/2 ↑ 2
f(x)在[-2,2]最大值2 最小值-6