Question

已知椭圆C a2分之x2+b2分之y2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3，直线过点（1,2分之根号3）

（1）球椭圆C的方程
（2）是否存在经过点（-1,2分之一）的直线L，它与椭圆C交于A,B两个不同点，且满足OM=2分之一OA+2分之根号3OB（O为坐标原点）关系的点M也在椭圆C上，如果存在，求出直线L的方程，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)∵c/a=√3/2,∴b/a=1/2∴a=2b
椭圆C;x²+4y²=4b²
将（1,√3/2）代入得：b²=1
∴ 椭圆C; x²/4+y²=1
(2)l:y-1/2=k(x+1)与 x²/4+y²=1联立消去y得：
（1+4k²)x²+4k(2k+1)x+(2k+1)²-4=0
（-1,1/2）在椭圆内部， Δ>0必成立
设 A (x1,y1),B(x2,y2)
则 x1+x2=-4k(2k+1)/（1+4k²)
x1x2=[(2k+1)²-4]/（1+4k²)
∴ 向量OM=1/2OA+√3/2OB
=(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
∴M(1/2x1+√3/2x2,1/2y1+√3/2y2)
因M在椭圆上，那么
(x1/2+√3x2/2）²+4（1/2y1+√3/2y2)²=4
x₁²/4+ 3x₂²/4+√3/2 x₁x₂+y₁²+3y₂²+2√3y₁y₂-4=0
(x₁²尘码绝/4+y₁²)+3(x₂²/4+y₂²)+√3/2 *x₁x₂+2√3y₁y₂-4=0
∵ x₁²/4+y₁模则²=1, x₂²/4+y₂²=1
∴ x₁x₂+4y₁y₂=0
∴x₁x₂+4(kx₁+k+1/2)(kx₂+k+1/2)=0
∴(1+4k²) x₁x₂派姿+2k(2k+1)(x₁+x₂)+(2k+1)²=0
∴ (2k+1)²-2-4k²(2k+1)²/（1+4k²)=0
解得k=1/2
所以符合条件的直线l存在，方程为
x-2y+2=0