Question

初三数学题一元二次方程

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．

Answer 1

1）设抛物线y=ax^2+bx+c,依题意，
9a+3b+c=3.5
16a+4b+c=2,
c=2
解得a=-1/2,b=2,c=2
所以抛物线解析式：y=(-1/2)x^2+2x+2

2)两种情况讨论
①过C作CP∥AB交x轴于点P
直线AB的解析式为y=(-3/2)x+8,
则直线CP的解析式为y=(-3/2)x+2,交x轴于P(4/3,0)
此时，AC=(3/2)√5,BP=√13
所以AC≠BP
所以不能成为等腰梯形
②过B作BP∥AC交x轴于点P
直线AC的解析式为y=(1/2)x+2,
则直线BP的解析式为y=x/2,交x轴于P(0,0)
此时，AB=√13/2,CP=2
所以AB≠CP
所以不能成为等腰梯形
所以不存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形

3）抛物线的对称轴为直线x=2,
作点A关于直线x=2的对称点A'(1,3,5),作点B关于x轴的对称点B'(4,-2)
连A'B',交x轴于点H,交x轴于点P，此时四边形ABPH的周长最小
ABPH的周长
=AH+HP+BP+AB
=A'H+HP+PB'+AB
=A'B'+AB
由两点间距离公式得，A'B'=√157/2,AB=√13/2
所以四边形ABPH的最小值=（√157+√13）/2

追问

第二题的第二步是不是有误？

Answer 2

解（1）把A(3,3.5)、B(4,2)、C(0,2)代入y=ax²+bx+c得①9a+3b+c=3.5②16a+4b+c=2③c=2
解得a=﹣½ b=2 c=2则解析式为y=﹣½x²+2x+2
(2)①当CP∥AB时，过AB的一次函数设为y=kx+b把A(3,3.5)、B（4,2）代入得解析式为
y=﹣3／2x+8,∵CP∥AB ∴解析式的k值相同
设过CP的一次函数为y=﹣3／2x+b把C（0,2）代入得解析式为y=﹣3／2x+2
∴P点坐标为（0,4／3）
但AC≠BP
∴不成立
②当AC∥BP时.......................................................................................................

但CP≠AB
∴不成立
综合上述，能使四边形ACPB,P点不存在.

Answer 3

（1）将A(3,3.5) B(4,2) c(0,2)带入，解得y=-2分之1x2+2