Question

函数f(x)=ax^2+2x+1,g(x)=lnx.

函数f(x)=ax^2+2x+1,g(x)=lnx.
（1）设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)有两个极值点的充要条件;
（2）求证:当a≥0时，不等式f(x)≥g(x)恒成立。

Answer 1

(1)解：F(x)=f(x)-g(x)=ax^2+2x+1-lnx. F(x)'=2ax+2-1/x=(2ax*x+2x-1)/x (x>0)
F(x)有两个极值点的充要条件: Δ>0，a≠0，[-2-√(4+8a)]/(2a)>0 (存在两根时最小的要大于0)
解得：-1/2<a<0
(2)证明;
1)a=0时：F(x)=f(x)-g(x)= 2x+1-lnx F(x)'=2-1/x F(1/2)'=0 F(x)先减后增，最小为
F(1/2)=2-ln(1/2)>0
2)a>0时：F(x)=ax^2+2x+1-lnx F(x)'=2ax+2-1/x=(2ax*x+2x-1)/x
h(x)=2ax*x+2x-1开口向上则存在两正根时；h(x)先正后负再正，F(x)先增后减再增，F(x)最小在较大零点x2处，为：F(x)(min)=F[-2+√(4+8a)]/(4a)]=x+3/2-lnx
(消去二次项,这里为了便于观察x代替x2)
( 较大零点 x2=[-1+√(1+2a)]/(2a)=1/(1+√(1+2a)<1 /2 <1 )
设L(x)=x+3/2-lnx
则L(x)'=1-1/x L(1)'=0 L(x)先减后增L(x)最小为L(1)=5/2>0
所以 F(x)(min)=F[-2+√(4+8a)]/(4a)]=x+3/2-lnx
x2=[-1+√(1+2a)]/(2a)=1/(1+√(1+2a)<1 /2 <1 则必有 F(x)(min)>5/2>0
有1）2）知 当a≥0时，不等式f(x)≥g(x)恒成立。

Answer 2

解：(1).F(x)=f(x)-g(x)=ax²+2x-lnx+1,(x>0)
F'(x)=2ax+2-1/x
令F'(x)=0得：2ax²+2x-1=0
设h(x)=2ax²+2x-1
若使F(x)有两个极值点只需
①.a>0时
h(0)=-1>0不成立，舍去
②.a<0时
h(0)=-1<0
Δ=4+8a>0
解得：-1/2<a<0
综上知：-1/2<a<0
证明：(2). a≥0时ax²≥0恒成立
∴要证f(x)≥g(x)恒成立只需证：
2x+1≥lnx恒成立
令H(x)=2x-lnx+1则
H'(x)=2-1/x令H'(x)=0得：x=2
所以当x=2时H(x)取最小值5-ln2>0
∴a≥0时f(x)≥g(x)恒成立

Answer 3

(1)F‘(x)=f’(x)-g‘(x),=2ax+2-1/x=(2ax^2+2x-1)/x
故F(x)有两个极值点的充要条件是：2ax^2+2x-1=0的判别式4+8a>0及相应的[-1±√(1+2a)]/2a>0
解得：-1/2<a <0
(2)a>0时F‘(x)=0有唯一实根x0=1/[1+√(1+2a)]
F''(x)=2a+1/x^2
F''(x0)>0
∴x0是极小值点，也是最小值点。
F(x0)={a(x0)^2+2(x0)+1+ln[1+√(1+2a)]}>0
∴当a≥0时，不等式f(x)≥g(x)恒成立