Question

设函数f(x)=ax+lnx g(x)=a^2x^2

设函数f(x)=ax+lnx g(x)=a^2x^2
1.当a=-1时求函数y=f(x)图像上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值
2.是否存在正实数a,使f(x)<=g(x)对一切正实数x都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在请说明理由

Answer 1

解：1、当a=-1时求函数y=f(x)=-x+lnx
设（x,-x+lnx）在f(x)上
则d=|x-(-x+lnx)+3|/√2=|2x-lnx+3|/√2
令h（x)=2x-lnx+3 (x>0)
h‘(x)=2-1/x 则x=1/2 , h‘(x)=0
x>1/2,h‘(x)<0 增
0<x<1/2,h‘(x)>0 减
故x=1/2是极小值点
则当x=1/2，h(x)取得最小值为h(1/2)=4+ln2>0
故d的最小值为（4+ln2)/√2
2、假设存在a>0满足条件
设s(x)=g(x)-f(x)=a^2x^2- ax-lnx (x>0)
s'(x)=2a^2x-a-1/x=(2ax+1)(ax-1)/x
令s'(x)=0则x=-1/2a或1/a
故当x>1/a , s'(x)>0
当0<x<1/a,s'(x)<0
故x=1/a时，s(x)取得最小值s(1/a)=lna
要使f(x)<=g(x)对一切正实数x都成立
只需lna>=0即可，则a>=1
故a的取值范围为[1,正无穷）