Question

我问一下，如果两个矩阵相似，它们的特征向量之间有什么关系。

Answer 1

如果Ax=λx，B=P^{-1}AP。

那么Ax=PBP^{-1}x=λx，B(P^{-1}x)=λ(P^{-1}x)。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、 求出全部的特征值；

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量。

扩展资料：

数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

参考资料来源：百度百科--相似矩阵

Answer 2

如果Ax=λx, B=P^{-1}AP
那么Ax=PBP^{-1}x=λx, B(P^{-1}x)=λ(P^{-1}x)

Answer 3

如果Ax=λx, By=λy，B=P^{-1}AP，那么x=Py