Question

如图,在△ABC中,ac=9 bc=12 bc=15 P为bc上一动点 PG⊥AC于点G PH⊥AB于点H

如图,在△ABC中,AB=9 AC=12 BC=15 P为BC上一动点 PG⊥AC于点G PH⊥AB于点H（1）求证： 四边形PGAH是矩形（2）当点P运动到BC的什么位置时，GH最短？ 若存在，请求出GH的长度；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)9,12,15，这是一组勾股数，所以△ABC是个直角三角形，所以角A=90度，再加上垂直的条件，得出四边形PGAH四个角都是90度，所以是矩形。
(2)既然是矩形，所以AP=GH，垂线段最短，所以AP⊥BC时GH最短，此时AP*BC=AB*AC，所以GH=AP=9*12/15=36/5

追问

好快...谢了！

Answer 2

（1）勾3股4弦5，∠BAC是直角。PG⊥AB，PH⊥AH，因此PGAH四个角都是直角，是矩形
（2）GH²=PH²+AH²，△PHC与△BAC，两个锐角都相等，因此边的关系（三角函数）也是勾3股4弦5
HC=（4/3）PH，设PH=x，AH=AC-HC=12-4x/3
∴GH²=x²+（12-4x/3）²=x²+144-32x+16x²/9
=（25/9）x²-32x+144
有极小值，x=-（-32）/[2×25/9]=16/[25/9]=144/25
最小值GH²=（25/9）×（144/25）²-32×144/25+144
=144[144/9/25-32/25+1]
=144[16/25-32/25+1]
=144[1-16/25]
=144×9/25
GH最小=12×3/5=36/5

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谢谢你

Answer 3

1) ∵∠AGP=∠GAH=∠AHP=90
∴四边形PGAH是矩形
2)设PB=x,则,PC=15-x
∵PH//AB
∴PH/AB=PC/BC
PH/9=(15-x)/15
PH=9(15-x)/15
∴PH=3(15-x)/5
∵PG//AC
∴PG/AC=PB/BC
PG/12=x/15
∴PG=4x/5
HG^2=PG^2+PH^2=16x^2/25+9(15-x)^2/25
=(25x^2-9*30x+9*15^2)/25
=x^2-54/5*x+81
=(x-27/5)^2+81*16/25
x=27/5=5.4时有最小值,最小值=√81*16/25=36/5=7.2
所以,当点P距B,5.4时,GH最小,最小值=7.2

追问

谢谢你

Answer 4

bc是15?12?

追问

AC=12 BC=15

追答

由已知三角形三边长，BC²=AB²+AC²,符合勾股定理，所以∠BAC是直角，又∠PGA=∠PHA=90°
所以四边形PGAH是矩形

追问

其实答案我已经写好了，就是想看看写得对不对，也谢谢你