Question

如图所示,在RT△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,BC=24,点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合）

如图所示,在RT△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,BC=24,点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA，交AC与点D。（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？（2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．

Answer 1

第一个问题：
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°。
∵PD∥BA，∴∠BAP＝∠APD＜90°。
∵△ABC∽△DAP，∴∠PAD、∠ADP中有一者＝∠B＝30°。
由三角形外角定理，∠ADP＝∠C＋∠CPD＞∠C＝60°，∴∠PAD＝30°，结合∠APD＜90°，
得：∠APD＝60°。

第二个问题：
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴AC＝BC/2＝24/2＝12。
∵PD∥BA，∴△DPC的面积/△ABC的面积＝（PC/BC）^2＝（PC/24）^2，
∴△DPC的面积＝（PC/BC）^2×△ABC的面积，
∴△APD的面积＝△PAC的面积－△DPC的面积＝△PAC的面积－（PC/24）^2×△ABC的面积
显然，△ABC、△PAC是等高不等底的三角形，
∴△PAC的面积/△ABC的面积＝PC/BC＝PC/24，∴△PAC的面积＝（PC/24）△ABC的面积，
∴△APD的面积＝（PC/24）△ABC的面积－（PC/24）^2×△ABC的面积
＝［24PC－PC^2）×△ABC的面积/（24）^2。

∵△ABC的面积为定值，∴要使△APD的面积最大，就需要（24PC－PC^2）取得最大值。
而24PC－PC^2＝12^2－（PC^2－2×12PC＋12^2）＝12^2－（PC－12）^2，
∴当PC＝12时，24PC－PC^2的值最大，此时，24PC－PC^2＝12^2，
∴△APD的最大面积＝12^2×△ABC的面积/（24）^2＝△ABC面积/4。
即：当PC＝12时，△APD的面积最大，最大面积为△ABC面积/4。

第三个问题：
令BP的中点为E，AC的中点为F。
很明显，EF是两外切圆的连心线，∴EF＝AC/2＋BP/2＝6＋BP/2。
又EC＝BC－BE＝24－BP/2。
由余弦定理，有：EF^2＝CF^2＋EC^2－2CF×ECcos∠C，
∴（6＋BP/2）^2＝（AC/2）^2＋（24－BP/2）^2－2（AC/2）（24－BP/2）cos60°，
令x＝BP/2，得：（6＋x）^2＝36＋（24－x）^2－2×6（24－x）/2，
∴36＋12x＋x^2＝36＋24^2－48x＋x^2－6×24＋6x，
∴54x＝24^2－6×24，∴x＝24×（24－6）/54＝24×（12－3）/27＝8×（4－1）/3＝8，
∴BP/2＝8，∴BP＝16。

Answer 2

解：（1）【当△ABC与△DAP相似时，应有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD为30°或60°】

当△ABC与△DAP相似时，

∠APD的度数是60°或30°．

（2）设PC=x，

∵PD∥BA，∠BAC=90°，

∴∠PDC=90°，

又∵∠C=60°，

∴AC=24•cos60°=12，CD=x•cos60°=1/2 x

∴AD=12-1/2 x，而PD=x•sin60°=√3/2 x

∴S△APD=1/2PD•AD=1/2 • √3/2 x •（12-1/2 x）=-√3/8（x²-24x）=

-√3/8（x-12）²+18√3

∵a=-√3/8＜0

∴抛物线的开口方向向下，有最大值，即当PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18√3

（3）连接O1O2，设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，

设⊙O1的半径为x，则BP=2x，显然，AC=12，
∴O2C=6
∴CE=6•cos60°=3

∴O2E=√6²-3²=3√3  O1E=24-3-x=21-x

又∵⊙O1和⊙O2外切
∴O1O2=x+6
在Rt△O1O2E中，有O1O2²=O2E²+O1E²

∴（x+6）²=（21-x）²+（3√3）²

解得：x=8
∴BP=2x=16