Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°．AB=2，CD=3，AD=7

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°．AB=2，CD=3，AD=7．在腰AD上是否存在点P．使△ABP与△DCP相似？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

∵在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
若PA/ PD=AB/DC ，则△ABP∽△DCP，

∵AB=2，CD=3，
∴PA：PD=2：3，
∵AD=7，
∴AP=2/5 AD=14/5 ；
若PA/DC=AB/PD ，则△ABP∽△DPC，
∵AB=2，CD=3，
∴PA•PD=6，
∵AD=PA+PD=7，
设PA=x，则PD=7-x，
∴x（7-x）=6，
即x2-7x+6=0，
解得：x1=1，x2=6，
即PA=1或6；
∴AP的长为14/5或1或6．

Answer 2

在本题中如果取两个相似三角形ABP和DCP,只能是两个等腰直角三角形，在△ABP中AP=AB=2,在△DCP中DP=DC=3,2+3≠7，AP+DP≠AD,所以在AD上不存在点P 。

Answer 3

据题意，欲使两三角形相似，必使AD/AP=PD/DC
所以，2/AP=(7-AP)/3
解得：AP=1，AP=6

Answer 4