Question

若函数f(x)=x^3+x^2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是

不要用倒数的回答啊。。。

Answer 1

对任意x2>x1属于R，
f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3+x2^2-x1^2+mx2-mx1
=(x2-x1)[(x2^2+x2x1+x1^2)+(x2+x1)+m]
=(x2-x1)[(x2-x1)^2+3x2x1+(x2+x1)+m]
≥(x2-x1)[(x2-x1)^2+3x2x1+2√(x2x1)+m]
=(x2-x1)[(x2-x1)^2+3(√(x2x1)+1/3)^2-1/3+m]
只要m≥1/3，就有f(x2)-f(x1)>0，所以m的取值范围为m≥1/3

用导数计算比这个容易的多，为什么你不愿意用导数呢？

追问

因为啊，我们还没有教到导数。。。
可是文科班好像教了。。

Answer 2

x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2^3+x2^2+mx2+1-x1^3-x1^2-mx1-1
=x2^3-x1^3+x2^2-x1^2+mx2-mx1
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)+(x2-x1)(x2+x1)+m(x2-x1)
=(x2-x1)((x2^2+x1x2+x1^2+x2+x1+m)
=(x2-x1)((x2^2+2x1x2+x1^2+x2+x1+m-x1x2)
=(x2-x1)[(x2+x1)^2+(x2+x1)+m-x1x2]
=(x2-x1)[(x2+x1+1/2)^2+m-x1x2-1/4]
m>x1x2+1/4

Answer 3

对f(x)求导：f`(x)=3x*2+2x+m
∵函数f(x)=x^3+x^2+mx+1是R上的单调函数
∴f`(x)=3x*2+2x+m有极点，即4-12m≥0
解得m≤1/3