Question

函数f(x)=ln(x的平方-ax-1)在[1,+∞]上是增函数,求a的取值范围

函数y=1+In(x-1)(x>1)的反函数是
没人啊，嗷嗷！·

Answer 1

解：1.设h(x)=x²-ax-1
∵f(u)=lnu(u>0)是增函数f(x)=ln(x的平方-ax-1)在[1,+∞)上是增函数
∴h(x)=x²-ax-1在[1,＋∞)上是增函数，并且当x∈[1,﹢∞)时h(x)>0
∴a/2≤1,h(1)=1-a-1>0
∴a<0
2.∵y=1+In(x-1)
∴ln(x-1)=y-1
x-1=e^(y-1)
x=e^(y-1)+1
∴y=1+In(x-1)的反函数是：
y=e^(x-1)+1,(x∈R)

Answer 2

由于y = lnx 在定义域(0,+∞)上单调递增，故若f(x)在[1,+∞)上是增函数，等价于g(x) = x平方 - ax -1在[1,+∞)上恒大于0且单调递增。即
（1）g(1) > 0 (2) 二次函数g(x)的对称轴x = 1/(2a)在直线x = 1左边
即 （1） 1 - a - 1 > 0 (2) 1/(2a) <= 1 解得 a < 0

另 y = 1 + ln(x-1) (x > 1) 显然这是一个增函数，值域是R。
y - 1 = ln(x-1) 两边取以e为底的指数，e^(y-1) = x - 1, x = e^(y-1) + 1
所以反函数是y = e^(x-1) +1