Question

一道简单高中数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

y=log2x（此处2为底数）+2logx2（此处x为底数）
这个式子怎么化简，最小值可以求吗？

Answer 1

y=log2x+2logx2

log2x与logx2互为倒数，所以原式为

log2x+2/log2x 令log2x=t

原式为t+2/t 在没有其他条件的情况下，t可以无限小，所以没有最小值

追问

当log2x＜0时不能运用基本不等式，对吗？

追答

当然不是，仍可照常用

推荐你个方法：令t=2/t，则t=√2 或-√2 ，则这是t 大于小于零两种临界情况

Answer 2

由换底公式
logx2=lg2/lgx
log2x=lgx/lg2
所以logx2=1/（log2x）
令log2x=t，t>0
则y=t+2/t
t>0
由均值不等式
t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2

追问

当log2x＜0时不能运用基本不等式，对吗？

追答

对
不能用均值

追问

那么最小值就不一定是2√2了？

追答

是无穷小

追问

y=t+2/t 是根据勾子函数的图象得来的吗？

追答

是，对勾函数要求x>0时才有最小值

追问

哦，那最小值应该是x＜0时的那部分图象看出来的，是无穷小，也就是没有一个定值，是吗？

追答

可以看图像，也可以取负数用均值证

Answer 3

y＝㏒2(x)+2/(㏒2(x))
令t＝㏒2(x)，则原式为：
y＝t+2/t（t∈R，且t≠0）。
则y的值域为：
(-∞，-2×2∧½)∪(2×2∧½，+∞)。

Answer 4

换底公式