Question

已知数列{a}满足：a1+a2+a3+...+an=n-an,(n=1,2,3...)(1)求a1,a2,a3的值 （2）求证：数列{an-1}是等比数列

Answer 1

(1)a1=1-a1，所以 a1=1/2
a1+a2=2-a2
2a2=2-a1=3/2，a2=3/4
a1+a2+a3=3-a3
2a3=3-(a1+a2)=5/4，a3=5/8
(2)Sn=n - an ①
S(n-1)=n-1 -a(n-1) ②
① - ②，得 an=1 -an +a(n-1)
an=(1/2)a(n-1) +1/2
an - 1=(1/2)[a(n-1) -1]，由于a1 -1=-1/2≠0，由递推式知 ｛an -1｝各项均不为0，
从而 {an -1}是首项为 -1/2，公比为1/2的等比数列。

Answer 2

a1=1/2
a2=3/4
a3=7/8
a1+a2+a3+...+an=n-an
sn=n-sn+sn-1
2sn=n+sn-1
2(sn-n)=s(n-1)-n
(sn-n)/[s(n-1)-n]=1/2
{sn-n}等比公比1/2 首项为-1/2
sn-n=-1/2*1/2（n-1)=-(1/2)^n
sn=n-(1/2)^n
an=n-(1/2)^n-(n-1)+(1/2)^(n-1)=1-(1/2)^(n-1)
an-1=-(1/2)^(n-1)等比
数列{an-1}是等比数列