Question

设函数f(x)在【0,1】上连续，在(0,1)内大于0，并满足微分方程xf'(x)=f(x)+(3/2)ax²(a为常数)。又曲线

设函数f(x)在【0,1】上连续，在(0,1)内大于0，并满足微分方程xf'(x)=f(x)+(3/2)ax²(a为常数)。又曲线y=f(x)与x=1,y=0所为图形的面积为2，求函数f(x)，并问a为何值时，图形绕x轴转一周所得的旋转体的体积最小。

Answer 1

1)
xf'=f+(3/2)ax²
f'-f/x=(3/2)ax
f=exp[∫(1/x)dx]{C+∫(3/2)ax*exp[∫(-1/x)dx]dx}=x*[C+(3/2)ax]=Cx+(3/2)ax²
∫fdx=2, (Cx²/2+ax³/2)|1到0=2, c/2+a/2=2, c=4-a
f=(4-a)x+(3/2)ax²
2)
π∫f²dx最小, 即(a²+10a+160)π/30 =[(a+5)²+135]π/30 最小
a=-5

Answer 2

1
xf'(x)=f(x)+(3/2)ax^2
xdf-fdx=(3/2)ax^2dx
d(f/x)=(3/2)adx
f/x=(3/2)ax+C
f(x)=(3/2)ax^2+Cx
x=1 f(1)=(3/2)a+C
x=0,y=0
S=∫[0,1]f(x)dx=(1/2)a+(1/2)C=2
C=4-a
f(x)=(3/2)ax^2+(4-a)x

2
f(x)=(3/2)a[x+(4-a)/3a]^2 -(4-a)^2/6a
4-a=0时，f(x)绕x轴转1周所得体积最小