离散数学关于上界和下界,上确界和下确界的区别
一、上界和下界的区别:
在数学中,特别是在秩序理论中,在某些部分有序集合(K,≤)的子集S里面,大于或等于S的每个元素的K的那个元素,叫做上界。而下界被定义为K的元素小于或等于S的每个元素。
1、上界:是一个与偏序集有关的特殊元素,指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。
2、下界:存在一个实数a和一个实数集合B,使得对∀x∈B,都有x≥a,则称a为B的下界。
二、上确界和下确界的区别:
1、上确界是一个集合的最小上界。
若数集S为实数集R的子集有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界。
2、下确界是与上确界相对偶的概念,指的是一个集合的最大下界。
三、上界和上确界的区别:
上界和上确界都不一定存在,如果都存在,上界不一定唯一,但上确界一定唯一。
四、下界和下确界的区别:
下界和下确界都不一定存在,如果都存在,下界不一定唯一,但下确界一定唯一。
扩展资料:
离散数学关于上界和下界,上确界和下确界的常用理论:
1、确界的唯一性定理:
设数集有上(下)确界,则这上(下)确界是唯一的。
2、确界存在定理:
有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界。
3、单调有界数列必有极限。
参考资料来源:百度百科——上界(数学名词)
参考资料来源:百度百科——下界(数学名词)
参考资料来源:百度百科——上确界
参考资料来源:百度百科——下确界
2016-12-04
在所有那些上界中如果有一个最小的上界,就称为M的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界,但是上确界却只有一个。
有界集合S,如果β满足以下条件
(1)对一切x∈S,有x≤β,即β是S的上界;
(2)对任意a<β,存在x∈S,使得x>a,即β又是S的最小上界,
则称β为集合S的上确界,记作β=supS
在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理:“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”
简单的说,一个存在上界(或下界)的集合,其上界(或下界)的数量将有无数个。
比方说如果s是某个集合m的上界,即s满足m中任何数都不超过s的要求,那么很明显,s+1;s+0.5;s+2;s+2.8等等这些数也满足m中任何数都不超过s+1;s+0.5;s+2;s+2.8等等的要求,所以根据上界的定义s+1;s+0.5;s+2;s+2.8等等这些s+任意正数都是m的上界。所以是无数个。
下界也类似,如果a是某个集合m的下界,即a满足m中任何数都不小于a的要求,那么很明显,a-1,a-0.3;a-2等等这些数也满足m中任何数都不小于a-1,a-0.3;a-2等等的要求,所以a-1,a-0.3;a-2等等这些a-任何正数的数也是m的下界,所以也是无数个。
而所有上界中最小的那个,被称为上确界,那当然就只有1个了。
所有下界中,最大的那个,被称为下确界,那当然也只有1个了。