Question

求一道奥数题

至少要取到（ ）个不相同的自然数，才能保证其中一定有两个数，它们的和或差能被100整除。

要有详解
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

将每个自然数x看做是x=100n+m
其中n是任意自然数，m是0到99的自然数
为m中的100个数配对，(0,0)（1,99）（2,98）（3,97）...(50,50)这51对，当m取了这对中的一个时，再出现一个数的m值是这对中的数的话，就是和为100的倍数。
而当m取值相同的话，两数的差又是100的倍数。
所以，不出现和或差被100整除就要尽量避免上面两种情况。
所以，最多取m为0到50的这51个数，再增加时，必然无法避免上面的两种情况。
即，当取52个不同的自然数时，就能保证其中一定有两个数，他们的和或差能被100整除。

以上~望采纳^^~

Answer 2

当规定0为自然数时，答案为52，当规定0不为自然数时为51

首先说明数学界基本达成0是自然数共识，但有些教材......
在这个前提下，提取n个不相同的自然数，要使它们中的两个数（设为M和N）的差能被100整除，则M和N的个位和十位相减应为0。提取n个自然数使它们的中至少有两个数的个位和十位同时相同，即可满足要求。取100个自然数，如从0到99，个位十位不会同时相同，但当取到101个不相同的自然数，一定有两个数个位和十位同时相同（请自己想，因为为什么会有一定相同的，解释起来实在是......），所以提取到101个个不相同的自然数，其中一定有差能被100整除的自然数。现在，考虑和能被整除的情况：有两个数M和N，它们的满足（M的个位+N的个位）+（M的十位+N的十位）*10=100。当提取100个不相同的自然数且他们满足没有两个数之差能被100整除时，个位十位不会同时相同，这这100个数一定包含着满足（M的个位+N的个位）+（M的十位+N的十位）*10=100的两个数。但当提取99个不相同的自然数且他们满足没有两个数之差能被100整除时，...........直到只提取51个不相同的自然数时才有不满足M的个位+N的个位）+（M的十位+N的十位）*10=100的两个数的情况出现，故至少提取52个不相同的自然数时，才能保证其中一定有两个数，它们的和或差能被100整除。

Answer 3

一个数被100除，余数有0到99，100种情况，
若差被100整除，则需要取到101个数
若和被100整除，则分两种情况讨论(自然数我小学时不包括0，目前包括0)：
(1)包含0
0，1，2，...，51，共52个
(2)不包含0
1，2，...,51，共51个

Answer 4

自然数被100除的余数为0~99，共有100种情况。
而考虑配对情况，只能取0~50，共51个。
所以，按照最差情况取，至少要多取一个，即为52个。