Question

知椭圆x2/9+y2/5=1求过点P(1,1)且被点P平分的弦所在直线的方程

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Answer 1

知椭圆x²/9+y²/5=1求过点P(1,1)且被点P平分的弦所在直线的方程
解：设过P(1，1)的直线方程为：y=k(x-1)+1=kx-k+1，代入椭圆方程得：
5x²+9(kx-k+1)²-45=(5+9k²)x²-18k(k-1)x+9(k-1)²-45=0
设该直线与椭圆的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，那么依韦达定理有：
x₁+x₂=18k(k-1)/(5+9k²)
AB中点的横坐标=(x₁+x₂)/2=9k(k-1)/(5+9k²)=1，故有-9k=5，k=-5/9
∴直线方程为y=-(5/9)x+5/9+1=-(5/9)x+14/9，即5x+9y-14=0为所求。

Answer 2

设弦交椭圆于(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=2 y1+y2=2
所以x1²/9+y1²/5=1 x2²/9+y2²/5=1
两式相减得到(x1+x2)(x1-x2)/9=-(y1+y2)(y1-y2)/5
所以(y1-y2)/(x1-x2)=-5/9，即斜率为-5/9
所以直线方程为y=1=-5/9(x-1)，即5x+9y-14=0

Answer 3

可设直线方程：y-1=k(x-1),
即：y=kx+(1-k).
与椭圆方程联立，整理可得：
(5+9k²)x²+18k(1-k)x+9[(k-1)²-5]=0
由题设可得：
[18k(k-1)]/[5+9k²]=2
⊿=[18k(1-k)]²-36(5+9k²)[(k-1)²-5]＞0
解得：k=-5/9
∴直线方程为：
y-1=(-5/9)(x-1)
整理就是：5x+9y-14=0